Ortega, Juan (de)

Fue miembro de la Orden de Predicadores y estuvo asignado a la provincia de Aragón. Enseñó Aritmética y Geometría en España e Italia, privada y públicamente.

Ortega es autor de uno de los primeros libros españoles de cálculo mercantil. Escrito con una finalidad esencialmente pedagógica y práctica, “porque no passasen tantos fraudes como passan por el mundo acerca de las cuentas”, la obra, titulada Tratado subtilissimo de Arismetica y Geometria, tuvo una gran difusión, alcanzando varias reediciones. Fue traducida al francés (1515), siendo el primer texto de aritmética comercial publicado en Francia en dicho idioma, así como al italiano (1515).

Esta obra ha despertado el interés de los historiadores principalmente por los valores obtenidos por Ortega en la extracción de raíces cuadradas que figuran en el último capítulo del libro dedicado a la descripción de las reglas prácticas de geometría. Dichos valores, que no figuran en la primera edición del tratado, los introdujo su autor en las ediciones de 1534, 1537 y 1542, sustituyendo los primitivos. Su peculiaridad estriba en que todos ellos (salvo dos) satisfacen la ecuación de Pell: X2 – Ay2 = 1 proporcionando una aproximación óptima a la raíz en forma de número racional.

Ortega, que llegó a dar catorce valores aproximados de otras tantas raíces cuadradas, no explicó el procedimiento por él seguido, lo que ha conducido a diversas conjeturas acerca del mismo. Julio Rey Pastor, partiendo de que todos los valores que da Ortega, salvo dos, son reducidas ordinarias especiales de √A que satisface a la ecuación de Pell, y los dos restantes son reducidas intercalares, puso de relieve que dicho método de aproximación de raíces, cualquiera que sea, es equivalente al desarrollo en fracción continua ordinaria. Rey Pastor añadía que la resolución general de la ecuación de Pell no se encontró antes de Fermat. El propio Julio Rey Pastor apuntó la hipótesis de que el procedimiento de Ortega estaría basado en la intercalación aditiva, consistente sumar los numeradores y denominadores de dos fracciones para obtener otra comprendida entre ambas.

Así, en una de las páginas de la obra de Ortega aparece 11+16/51 como raíz de 128. El procedimiento seguido por Ortega consistiría en: 1º. Extraer por el método usual la raíz cuadrada, obteniendo dos raíces, por exceso 11+7/22 y por defecto 11+7/23. 2º. Aplicar reiteradamente la intercalación aditiva: 7+7 / 23+22 = 7/23= 0, 30434...; 14 +7/45 + 22=21/67= 7/22= 0, 318181...; así hasta, por ejemplo, 16/51=0, 313725... La raíz de 128 es, calculada con seis decimales, 11, 313708. Como puede verse, el método de Ortega proporciona cuatro decimales exactos, siendo la fracción obtenida reducida de √ A si | P/q - √A | < 1/ 2q² y 11+ 16/51 = 577/51= 11, 31372549...

Teniendo en cuenta, además, que la raíz cuadrada de 128 con ocho decimales exactos es √ 128 = 11, 31370849... Resulta | 11, 31372549-11, 31370849 | = 1, 6-10^-5 < 1/ 2.51² = 1, 9. 10^-4.

José Barinaga, aplicando las fracción continuas tituladas según el entero más próximo y debidas a Adolf Hurwirtz, ha demostrado la estrecha analogía entre los valores de Ortega y los obtenidos mediante el desarrollo hurwirtiziano, sin pronunciarse acerca de cuál pudo ser el método empleado por el matemático dominico. Barinaga ha insistido también en la cuidadosa selección de los ejemplos realizada por fray Juan de Ortega.